Allgemeine Relativitätstheorie

Vorab einige Grundlagen zur Gravitation

Newton stellte sich die Gravitation als Fernwirkung vor, indem z.B. die Sonne auf große Distanz auf die Erde einwirkt. Einstein widersprach dieser Auffassung und beschrieb die "Anziehung" so, dass die Sonne durch ihre Masse den Raum verändert, ein Kraftfeld erzeugt, in dem sich die Erde bewegt. Das Kraftfeld ist eine Eigenschaft der Raumes in der Umgebung der Masse. Die Masse verkrümmt den Raum, und auf Grund dieser Raumkrümmung bewegt sich die Erde nicht geradlinig weiter, sondern beschreibt ihre Bahn entlang der durch die Masse der Sonne hervorgerufenen Raumkrümmung.

Der Raum, das Vakuum. In der klassischen Physik ist das Vakuum ein leerer Raum, der sich gradlinig ins Unendliche erstreckt. Diese Auffassung teilt die moderne Physik nicht. Die heutige Ansicht ist ein Vakuum, das virtuell alle Elementarteilchen mit negativer Energie enthält. Die Naturgesetze sind nicht an die Materie gebunden, sondern bereits im Vakuum vorgegeben. Auch die Masse erscheint als ein Produkt des Vakuums (siehe Quantenphysik).

Das Äquivalenzprinzip. Einstein erkannte, dass Gravitation und Beschleunigung äquivalent sind. In einem der Erdbeschleunigung (g = 9,81 m/s2) entsprechend beschleunigten Raumschiff verlaufen alle Experimente gleich wie auf der Erde. Träge Masse (Beschleunigung) = schwere Masse (Gravitation).
Die Gravitation verkrümmt die Raum-Zeit, und die Verkrümmung der Raum-Zeit bewirkt die Gravitation!

Auswirkungen der Raumkrümmung
Lichtkrümmung durch Gravitation. Licht folgt immer dem kürzesten Weg, doch in einer gekrümmten Raumzeit ist der kürzeste Weg keine Gerade. Einstein sagte voraus, dass das Licht von Sternen in scheinbarer Sonnennähe von der Masse der Sonne abgelenkt würde. Durch astronomische Beobachtungen während verschiedener Sonnenfinsternisse wurde diese Aussage seit 1919 vielfach bestätigt – ein erster Beweis für die Richtigkeit der Theorie.

Die Allgemeine Relativitätstheorie trägt ihren Namen deshalb, weil sie über die Spezielle Relativitätstheorie hinausgeht und die Gegebenheiten nicht nur in ruhenden oder mit gleichbleibender Geschwindigkeit bewegten Systemen erklärt, sondern eben allgemein in allen, auch beschleunigten Systemen. Im Vordergrund der Betrachtungen steht die Gravitation.

Newtons Gravitationskonstante G ist diejenige Kraft, die zwischen zwei je ein Kg schweren Körpern wirkt, die einen Meter voneinander entfernt sind.

Gravitationskonstante G

Die Beschleunigung a zwischen diesen beiden Körpern beträgt:

Beschleunigung

Raumeigenschaften. Bestimmte geometrische Eigenschaften gelten nur im ungekrümmten, "euklidischen" Raum: Parallelen scheiden sich nicht; die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°; der Satz des Pythagoras gilt; der Kreisumfang beträgt 2 π r. Zeichnen wir z.B. ein gleichseitiges Dreieck von 1 m Seitenlänge auf den Asphalt, so beträgt dieWinkelsumme 60° + 60° + 60° = 180°. Nehmen wir aber den Globus und zeichnen ein Dreieck ein, dass sich von zwei Punkten am Äquator bei 0° Ost und 90° Ost zum Nordpol erstreckt, so beträgt die Winkelsumme 90° + 90° + 90 ° = 270°! Dies ist eine Eigenschaft des positiv gekrümmten zweidimensionalen Raumes ‚Erdoberfläche‘.

Eine Raumkrümmung kann also gemessen werden, indem man die Winkel eines genügend großen Dreiecks berechnet. Man benötigt keine weitere Dimension dazu!

Ein positiv gekrümmter Raum ist eine Kugeloberfläche und ihre dreidimensionale Entsprechung; die Winkelsumme im Dreieck ist größer als 180°, der Raum ist endlich und in sich geschlossen. Ein negativ gekrümmter Raum entspräche einer Satteloberfläche; die Winkelsumme ist kleiner 180°, der Raum ist unendlich und offen.

Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Begriffsklärung:
Metrischer Tensor; Krümmungstensor.
Ein Vektor ist eine Größe, die durch einen Zahlenwert und eine Richtung bestimmt ist; ein Pfeil.
Ein Tensor ist die Verallgemeinerung des Vektorbegriffs.
Ein Vektor ist ein Tensor erster Stufe.
Einstein benutzt für seine Berechnungen den metrischen Tensor; er bestimmt die Abstandsverhältnisse, also die metrische Struktur des Raumes.
Der Krümmungstensor ist ein kompliziertes mathematisches Gebilde, das aus dem metrischen Tensor abgeleitet wird und die Krümmungseigenschaften jedes Punktes im Raum beschreibt.

Eine Geodäte ist die kürzeste Verbindung zweiter Punkte im Raum, in der Ebene eine Gerade, in der Raum-Zeit eine gerade Weltlinie parallel zur t-Achse, die Weltlinie eines ruhenden Körpers. (siehe spez. Relativitätstheorie II) (Warum fliegt ein Flugzeug auf dem Weg von Frankfurt nach New York so weit nördlich? Weil es der Geodäte folgt und den kürzesten Weg nimmt, und das ist nicht einfach immer nach Westen.)

Und hier ist nun die Feldgleichung:

die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie

Wie simpel diese kleine Formel aussieht, und doch kenne ich keinen, der mit ihr etwas berechnen könnte. Aber aus ihr leitet man z.B. die Theorien der Schwarzen Löcher ab.

Die Feldgleichungen beschreiben die Wechselwirkungen zwischen der Geometrie (Raum-Zeit) und der Materie an jedem Punkt im Raum. Die Materie krümmt die Raum-Zeit, die Raum-Zeit legt durch die Trägheit die Bewegung der Materie fest.

R ist der Krümmungstensor, abgeleitet aus dem metrischen Tensor. Er beschreibt die Raum-Zeit-Krümmung.
T ist der Materietensor. Er beschreibt die lokalen Energie-Impuls-Eigenschaften der Materie, d.h. die Materie- oder Energiedichte z.B. in einem cm3 Materie.
k ist die Einstein’sche Gravitationskonstante; sie ist

Einsteins Gravitationskonstante
(G = Newtons Gravitationskonstante)

i und k sind Indices, die bedeuten, dass R und T aus mehreren Komponenten besteht. Es gibt 10 i-k-Kombinationen, so dass man 10 Gleichungen erhält.

Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie sehen auf den ersten Blick ganz simpel aus, doch wir werden sie nicht ausrechnen, denn das könnte ich gar nicht. Aber wir können uns die qualitative Bedeutung dieser Formel ansehen: Allgemein sagt die Formel aus, dass die Krümmung der Raum-Zeit proportional zur Energiedichte an der betreffenden Raum-Zeit-Position ist.

Newtons Gravitationstheorie ist – als "Newtonscher Grenzfall" – in den Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie enthalten, ebenso die Aussagen der Speziellen Relativitätstheorie.

Verbogene Zeit.
Die Gravitation verändert die Struktur der Raum-Zeit und den Fluss der Zeit. Je stärker das Gravitationsfeld, umso langsamer vergeht die Zeit. Mit genügend feinen Instrumenten lässt sich dies in Experimenten mit Lichtstrahlen in einem 300 m hohen Turm feststellen. In 300 m Höhe ist die Gravitation etwas schwächer und die Zeit vergeht um 3 Billionstel Prozent schneller als am Boden!

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